viernes, 6 de febrero de 2015

Enguedeyaos nos filos de Cremona: cáustica nel mio café 2

   Na entrada cabera, dexé’l tema colgando d’un filu pa volver garralo güei.
Curva cáustica nel mio café

   Cola idea de siguir el tema de representar los patrones d’aberración cáusticos siguí la güelga del matemáticu italianu Luigi Cremona, que desendolcó la so carrera (nel sieglu XVIII) alredor de la xeometría proyeutiva, célebre, per exemplu, pola so manera de tratar l’equilibriu de fuercies estátiques, qu’estudió con filos y cuerdes, y qu’esplicó na obra cumial de la so carrera “Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane”. Lo mesmo que pa les fuercies, a la lluz tamién podemos representala con filos y los puntos au reflexa pueden ser aguyes o clavos, con estos elementos podemos facer fermoses figures de curves acorazonaes como les que viemos, y ensin usar tresportador d’ángulos. 

Una representación de cáustica pol métodu Cremona

   El métodu qu’usé valse d’una de les riegles de la óptica ya enunciara: los ángulos pequeños refléxense n’ángulos pequeños, los grandes faénlo con ángulos grandes. Nel modelu anterior los dos ángulos (incidente y reflexáu) yeren iguales, poro anque estos nun lo seyan podemos representar cardioides mesmamente. Pa ello partimos un círculo nes partes que nos pete (cuantes más meyor), y escoyemos un focu, desde ehí van salir toles llínees de “lluz”. Agora sólo tenemos que tirar un filu desde’l focu a la primer división, y reflexalo... ¿ónde? Si escoyemos la llei de proporcionalidá que dixe, pa la primer división tien que ser grande, pa la división que queda xustamente a 90º tien que ser nulo, asina podemos amesta-y un coeficiente de proporcionalidá, como per exemplo multiplicar el númberu de la división a la que tiramos el filu por un númberu fixu, los númberos con más interés (al menos pa mi, y nesti momentu) son el 2 y el 3.

 
Cardioide fecha con filo, usando'l multiplicador 2

   El dos xenera una curva cardioide, el tres xenera una curva vinculada a la cardioide,  que nesti casu tien forma de riñón, la nefroide. L’explicación de porqué los númberos 2 y 3 son los más interesantes atopámosla nuna forma cenciella de dibuxar epicicloides; pa ello necesitamos dos ruedes, una con centru fixu, y otra que xira alredor d’ella, nésta cabera nel cabu d’uno de los sos radios va un llápiz que traza’l percorríu, ésti puede ser una epicicloide cardiodie, nefroide o de otra triba. Podemos convinir qu’el radiu de la rueda fixa nómase “R”, y el de la móvil “r”, el veutor “a”, xira sobre sí mesmo ya que tien un estremu fixu, y mide a=R+r; l’otru veutor, “b”, tamién xira sobre sí mesmo, poro un estremu (l’interior) pivota au fina’l veutor, y mide b=r. La trayeutoria que sigui esti llau de la mano de fuera, qu’además ye au ta’l llápiz, depende del llargor de los dos veutores, a y b. El cociente ente una y otra, m=b/a, diznos la forma de la curva, que sedrá 2 para la cardioide y 3 para la nefroide.
Dibuxando una cardiodie con métodu  de les ruedes (ya falaré d'él)


Volvamos al tema que nos tinía entreteníos, usando’l 2 como fautor de proporcionalidá tenemos el reflexu del rayu que llega a la primer división dirá a la segunda, el de segundo a la cuarta, el tercero a la sexta, el de la división n al 2n... si vamos tirando llínies vamos dir viendo que va apaeciendo la curva cardiode, na rexón onde entren en contautu los filos.   

Cardioide fecha col métodu de los filos

Mesmos resultaos, que los atopaos tenémoslos si los rayos, en vez de vinir d’un mesmo puntu, vienen desde un puntu infinitu (o perllonzanu). Al final tanto per un métodu como por otru, vamos atopar una representación pervalible de nuesa curva (sobre tou si trabayamos con un númberu grande de divisiones).

Curva nefroide a mediu facer, usand´l tres como fautor multiplicativu

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