domingo, 8 de febrero de 2015

Los fractales: la xeometría del sieglu XXI (segunda parte)

La xeometría del sieglu XXI: Xugando coles muñeques Matrioska
 

  En cualesquier tienda del “tou a cien” podemos atopar un xuegu por todos conocíu: les muñeques Matrioska; ya sabe, al abrir la primer muñeca pela metá, atopamos otra dientro, y dientro d´ella otra, y asina hasta la cabera. Esti xuguete rusu tien daqué de fractal, vamos ver que los fractales repiten les mesmes estructures nos diferentes niveles.


      La natura asemeyase a les Matrioska: la roca ye perasemeyada a la montaña de la que salió, les rames de los árboles tienen la mesma estructura que la del troncu, l’aspeutu de la llinia de la mariña ye perasemeyada a diferentes niveles...
   Lo mesmo que les nueses muñeques, la natura pon llendes a l’apaición d’estructures fractales, son llendes físiques: en llegando cierto tiempo la rama ya nun se divide más. Anque n´ocasiones ye d'utilidá'l pensar qu'eses rames siguen bifurcándose hasta´l infinitu. Idealizaciones d´esti tipu van aidanos a pescanciar hasta que llendes puen llegar los fractales, llendes d´orde infinitu.
Como primer averamientu vamos fixamos nun de los primeros fractales estudiaos, nun ye una estructura qu´apaeza na natura, ye una estructura matemática, que, por cierto, ye imposible de dibuxar en tola so magnitú. Vamos vela.
Trátase de la clásica curva de Koch, que discurrió Helge von Koch a primeros del sieglu XX.
Pa la so construcción desendolcamos un procesu iterativu (esti términu ye perusáu en matemátiques y n’informática, y podemos definilo como la aición de repetir un algoritmu un númberu determináu de vegaes) entamando nun triángulu equilláteru.

 




Si agora amestamos, na metá de caún de los llaos, otru triángulu tres veces más pequeñu qu’el primeru, apaez una estrella de David.



Esta sedría la primer iteración, si agora repetimos la operación pa caún de los llaos de los triangulinos que van apaeciendo tendremos:



Facemos otra iteración y vemos:



Pa bien ser, pa dibuxar la curva de Koch, tenemos qu’iterar un númberu infinitu de vegaes, cosa que pa nós ye imposible. Si fuéramos quien a dibuxala, al garrar un lente veríamos el mesmo paisax, y por muncho que nos averásemos siempre díbamos ver el mesmo patrón.



Otro fractal que podemos “fabricar” a partir d’un triángulu ye la curva de Sierpinski.
Pa ello vamos dir quitando-y triángulos de dientro l’área del triángulu primeru, asina:


   Si siguimos iterando’l triángulu del aniciu cada vegada va tener menos “rellenu”, pa ser infinitamente pequeñu nuna iteración llonxana.
   Nesti puntu entamamos a ver dalgunes propiedaes de los fractales. La que más rescampla: por muncho que nos averemos al oxetu, esti nun cambia, esta propiedá nómase autosimilaridá. Y anque nun nos lo paeza nun ye propiedá única de rareces matemátiques como les que vimos ehí p’arriba, sinón qu’apaez tamién na natura, per exemplu, la llínia de la mariña ye autosimilar, anque non lo ye nel grau que lo ye la curva de Koch, la mariña ye autosimilar estadísticamente. Y ye qu’atopamos delles formes d’autosimilaridá. Na exauta, un o dellos cachos d’un oxetu repítense en tol oxetu.
   Más propia de la natura ye l’autosimilaridá aproximada (o cuasiautosimilaridá), na que la forma del oxetu y de les sos partes nun son iguales del tou, estes semeyances tienen llendes físiques, polo que son autosimilares fasta una escala determinada.
 
Coliflor romana, un exemplu de cuasiautosimilaridá.
    Agora bien, na natura, más que nada, atopamos estructures autosimilares de calter estadísticu. Nella namái que se caltienen delles propiedaes  cuando cambiamos d’escala, cuando diximos que les piedres asemeyábense a les montañes d’au salieron, falábamos d’una fractalidá con autosimilaridá estadística.
    En entraes futures vamos dir viendo otres carauterístiques de los fractales.

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