sábado, 28 de febrero de 2015

Los fractales: la xeometría del sieglu XXI (cuarta parte)

Fractales clásicos: un catálogu de mostruos

    Lo mesmo qu´asocedía nos circos del sieglu XIX el catálogu de fractales ta enllén de mostruos. Esos “seres” ya´l so comportamientu oriscu escapen de les llendes de la intuición ya´l sentíu común, lo normal ye pensar que les curves son reducibles, resultáu d´aplicar una función continua, de magar que nun sepamos que ye una función la tiesta diznos que tou ye suavín y cenciellu. La esperiencia diz lo contrariu, les curves diferenciables namás que tán nos llibros de testu, nos cálculos d´inxeniería, la realidá ye más gafa que tou eso. Güei vamos a entamar a ver los fractales clásicos, con mires a ver, col tiempu, los fractales qu'apaecen na natura.

  

  Matando culiebres: fractales de Df ente 0 y 1
 
   Del fractal que nos vamos ocupar, con dimensión fractal ente 0 y 1, ye, según Beniot Mandelbrot, de la prehistoria fractal. Trátase del Polvu de Cantor.
    L´aniciu ye una llinia (nel sentíu xeométricu: un oxetu con llargor namás) que partimos en tres cachos, quitamos-y el del mediu (esti sedría´l xenerador del fractal). Lo siguiente conocemoslo ya, iterar el procesu hasta l’infinitu. El resultáu ye un polvu perfinu que malapenes enllena l´espaciu, y del que nun podemos más que facer representaciones porcaces, au por más que queramos nun nos vamos averar al aspeutu real del “bichu”.

Representación gráfica de les cuatro primeres iteraciones




     ¿Cuáles van ser les dimensiones d´esti conxuntu? Según lo que diz Euclides la llinia ye un llargor ensin anchor, polo tanto la llinia tien dimensión topolóxica 1 (DT =1). Por otru llau, el puntu ye lo que nun tien partes, polo que DT =0. Con esto, y siguiendo a Euclides, l´oxetu anició con 1-D, pero al finar, va tar formáu por infinitos puntinos separtaos infinitamente va tener 0-D. Como ya vimos esta dimensión ye la topolóxica, pero ¿qu´hai de la fractal? Si nos alcordamos

polo que


   El Polvu de Cantor ta nun llugar estrañu del universu, a mediu camín d´esistir y non esistir.
Fice delles pruebes con regles distintes de corte (el llector puede probar tamién), y atopé dimensiones bien asemeyaes (0,6826, 0,5...) anque los polvos qu´apaecieron fueron destremaos enforma unos d´otros.
Hasta equí el nueso oxetu ensin de dexar de ser raru nun tien tanto de mostruu, lo que vien agora va enseñanos el llau más escuru d´esta llonxana polvoreda.
   Sabemos qu'una vegada que ficimos infinites iteraciones, lo que tenemos son infinitos puntos infinitamente pequeños, y ehí lo verdaderamente mostruosu, resulta qu'inda ser tou vaciu tovía podemos sacar daqué d´elli. Pensemos que si fuéramos quien a atopar un puntín d´esos, y echaremos andar a la gueta del siguiente, anque caminaremos tola nuesa vida nun díbamos atopalo, nin siquiera si nos relevasen tolos seres humanos qu´esistieron y esistirán enxamás; y tovía asina, l’oxetu seguiría esistiendo.
    Nun se al llector, pero a mi produzme voltura, y lo mesmo que a Jean Paul Sartré en "La Nausea", intentar imaxiname esa infinitú. A Cantor, pamidea, que-y pasó lo mesmo, y por eso dedicó la so vida a estudiar el continuu, l'infinitu; ye más foi'l primeru n'afirmar qu'hai dellos niveles d´infinitu, caún igual d´infinitu, pero qu'unos caltienen a otros dientro de so.
    Hai una cosina más sobre esta llinia qu'hai que rescamplar. Si cruciamos una llinia a traviés de cualesquier parte de la curva de Koch (http://cienciaastur.blogspot.com.es/2015/02/los-fractales-la-xeometria-del-sieglu_15.html), lo que vamos ver ye que la ralura de los puntos de contautu onde ésta toca la curva siguen el mesmo patrón qu´el Polvu de Cantor. Esto llevanos de nuevu al puntu d'aniciu, los fractales de dimensión ente 1 y 2, que veremos n'otra entrada.

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