Fractales clásicos: un catálogu de mostruos
Lo mesmo qu´asocedía nos circos del sieglu XIX el catálogu de fractales ta enllén de mostruos. Esos “seres” ya´l so comportamientu oriscu escapen de les llendes de la intuición ya´l sentíu común, lo normal ye pensar que les curves son reducibles, resultáu d´aplicar una función continua, de magar que nun sepamos que ye una función la tiesta diznos que tou ye suavín y cenciellu. La esperiencia diz lo contrariu, les curves diferenciables namás que tán nos llibros de testu, nos cálculos d´inxeniería, la realidá ye más gafa que tou eso. Güei vamos a entamar a ver los fractales clásicos, con mires a ver, col tiempu, los fractales qu'apaecen na natura.
Matando culiebres: fractales de Df ente 0 y 1
Del fractal que nos vamos ocupar, con dimensión fractal ente 0 y 1, ye, según Beniot Mandelbrot, de la prehistoria fractal. Trátase del Polvu de Cantor.
L´aniciu ye una llinia (nel sentíu xeométricu: un oxetu con llargor namás) que partimos en tres cachos, quitamos-y el del mediu (esti sedría´l xenerador del fractal). Lo siguiente conocemoslo ya, iterar el procesu hasta l’infinitu. El resultáu ye un polvu perfinu que malapenes enllena l´espaciu, y del que nun podemos más que facer representaciones porcaces, au por más que queramos nun nos vamos averar al aspeutu real del “bichu”.
L´aniciu ye una llinia (nel sentíu xeométricu: un oxetu con llargor namás) que partimos en tres cachos, quitamos-y el del mediu (esti sedría´l xenerador del fractal). Lo siguiente conocemoslo ya, iterar el procesu hasta l’infinitu. El resultáu ye un polvu perfinu que malapenes enllena l´espaciu, y del que nun podemos más que facer representaciones porcaces, au por más que queramos nun nos vamos averar al aspeutu real del “bichu”.
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| Representación gráfica de les cuatro primeres iteraciones |
¿Cuáles van ser les dimensiones d´esti conxuntu? Según lo que diz Euclides la llinia ye un llargor ensin anchor, polo tanto la llinia tien dimensión topolóxica 1 (DT =1). Por otru llau, el puntu ye lo que nun tien partes, polo que DT =0. Con esto, y siguiendo a Euclides, l´oxetu anició con 1-D, pero al finar, va tar formáu por infinitos puntinos separtaos infinitamente va tener 0-D. Como ya vimos esta dimensión ye la topolóxica, pero ¿qu´hai de la fractal? Si nos alcordamos
polo que
El Polvu de Cantor ta nun llugar estrañu del universu, a mediu camín d´esistir y non esistir.
Fice delles pruebes con regles distintes de corte (el llector puede probar tamién), y atopé dimensiones bien asemeyaes (0,6826, 0,5...) anque los polvos qu´apaecieron fueron destremaos enforma unos d´otros.
Hasta equí el nueso oxetu ensin de dexar de ser raru nun tien tanto de mostruu, lo que vien agora va enseñanos el llau más escuru d´esta llonxana polvoreda.
Sabemos qu'una vegada que ficimos infinites iteraciones, lo que tenemos son infinitos puntos infinitamente pequeños, y ehí lo verdaderamente mostruosu, resulta qu'inda ser tou vaciu tovía podemos sacar daqué d´elli. Pensemos que si fuéramos quien a atopar un puntín d´esos, y echaremos andar a la gueta del siguiente, anque caminaremos tola nuesa vida nun díbamos atopalo, nin siquiera si nos relevasen tolos seres humanos qu´esistieron y esistirán enxamás; y tovía asina, l’oxetu seguiría esistiendo.
Nun se al llector, pero a mi produzme voltura, y lo mesmo que a Jean Paul Sartré en "La Nausea", intentar imaxiname esa infinitú. A Cantor, pamidea, que-y pasó lo mesmo, y por eso dedicó la so vida a estudiar el continuu, l'infinitu; ye más foi'l primeru n'afirmar qu'hai dellos niveles d´infinitu, caún igual d´infinitu, pero qu'unos caltienen a otros dientro de so.
Hai una cosina más sobre esta llinia qu'hai que rescamplar. Si cruciamos una llinia a traviés de cualesquier parte de la curva de Koch (http://cienciaastur.blogspot.com.es/2015/02/los-fractales-la-xeometria-del-sieglu_15.html), lo que vamos ver ye que la ralura de los puntos de contautu onde ésta toca la curva siguen el mesmo patrón qu´el Polvu de Cantor. Esto llevanos de nuevu al puntu d'aniciu, los fractales de dimensión ente 1 y 2, que veremos n'otra entrada.
Fice delles pruebes con regles distintes de corte (el llector puede probar tamién), y atopé dimensiones bien asemeyaes (0,6826, 0,5...) anque los polvos qu´apaecieron fueron destremaos enforma unos d´otros.
Hasta equí el nueso oxetu ensin de dexar de ser raru nun tien tanto de mostruu, lo que vien agora va enseñanos el llau más escuru d´esta llonxana polvoreda.
Sabemos qu'una vegada que ficimos infinites iteraciones, lo que tenemos son infinitos puntos infinitamente pequeños, y ehí lo verdaderamente mostruosu, resulta qu'inda ser tou vaciu tovía podemos sacar daqué d´elli. Pensemos que si fuéramos quien a atopar un puntín d´esos, y echaremos andar a la gueta del siguiente, anque caminaremos tola nuesa vida nun díbamos atopalo, nin siquiera si nos relevasen tolos seres humanos qu´esistieron y esistirán enxamás; y tovía asina, l’oxetu seguiría esistiendo.
Nun se al llector, pero a mi produzme voltura, y lo mesmo que a Jean Paul Sartré en "La Nausea", intentar imaxiname esa infinitú. A Cantor, pamidea, que-y pasó lo mesmo, y por eso dedicó la so vida a estudiar el continuu, l'infinitu; ye más foi'l primeru n'afirmar qu'hai dellos niveles d´infinitu, caún igual d´infinitu, pero qu'unos caltienen a otros dientro de so.
Hai una cosina más sobre esta llinia qu'hai que rescamplar. Si cruciamos una llinia a traviés de cualesquier parte de la curva de Koch (http://cienciaastur.blogspot.com.es/2015/02/los-fractales-la-xeometria-del-sieglu_15.html), lo que vamos ver ye que la ralura de los puntos de contautu onde ésta toca la curva siguen el mesmo patrón qu´el Polvu de Cantor. Esto llevanos de nuevu al puntu d'aniciu, los fractales de dimensión ente 1 y 2, que veremos n'otra entrada.
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