jueves, 22 de enero de 2015

Cáustica nel mio café

   Hai vegaes que, tando enguedeyáu en daqué esperimentu o proyeutu que prúyeme de verdá, obsesiónome con él, y nun cabilo más que n’ello, habiendo poques coses que puedan quitámelo de la tiesta, con una salvedá, otru proyeutu que me pruya más.
   Cierta vegada xugaba con un punteru láser, que facía pasar pente rendixes perfines y dellos polarizadores. Llevaba dellos díes dándo-y vueltes a la idea de poder caltriar sobre por cuala de les rendixes pasaba la lluz, y en qué proporción (asoleyé un artículu sobre esti tema na revista Ciencies númberu 3, de la Academia de la Llingua Asturiana, issuu.com/academiadelallinguaasturiana/docs/ciencies_2013?e=14406242/11021011). Una d’eses tardes, baxé del taller a la cocina cola idea de tomar un café. Senteme cabilante, col punteru láser na manu, dándo-y vueltes. Nel culín cabero del café, entá quedaba daqué, disparé un faz de lluz led a la taza, pues el punteru tenía la doble opción led-láser (los bazares chinos tán enllenos que coses perafayadices), y de secute, ¡zas!, no fondero de la taza apaeció una forma acorazonada, yera una curva cáustica, una triba de curva que forma parte de la familia de les epicicloides, y qu’apaez como aberración de la reflexón de la lluz nuna superficie. Vime nun apuru, la cáustica pruyó tanto la mio atención, que nun pude volver al otru esperimentu, la mente mio daba vueltes siguiendo la curvatura cardioide de la cáustica de mio café.
Cardioide xenerada nun tubu de cobre.
   ¿Cómo y porqué apaez esa curva? Con idea d’esclariar mios duldes, desempolvé les lleciones d’óptica.
La lluz (y en xeneral les radiaciones lletromagnétiques, el soníu, y a veces nos mesmos) va d’un puntu a otru nel mínimu tiempu posible, ye’l Principio de Fermat. Esto tien una implicación perimportante, los rayos de lluz, siempre que puedan, van dir usando’l camín más curtiu, a efeutos práuticos, la reuta euclídea. Con esto na mente podemos llegar a imaxinar cuala ye la trayeutoria que va siguir un rayo de lluz al chocar escontra una superficie reflectante.
 

  
   Como vemos el llugar onde’l rayu tien que chocar pa dir d’A a B ye’l puntu X, que atopamos al tirar la llínia desde’l reflexu d’A, nomáu A´, al puntu B, onde la llínia imaxinaria choca escontra la superficie reflectante (en gris). La lluz sigue les mismes riegles qu’el billar, y los dos ángulos, el del rayu que choca y el que rebota son iguales, y polo tanto, cuanto mayor ye’l ángulu del rayu, mayor ye’l del reflexu. L’exemplu amuesa una superficie plana, pero estes mismes riegles funcionen cuando onde incide la lluz ye una curva, como mio taza de café.

   Cuando la lluz llega a la superficie interior de mio taza desde’l puntu P vemos que los rayos nun interseuten nel mesmo llugar, como socede cuando los rayos lleguen paralelos a la exa de la superficie esférica, sinón que lo faen tou a lo llargo del segmentu Q-Q´ , rexón que nomamos d’aberración esférica, que nun ye otra cosa que la metá de nuesa cardiode, o cáustica por reflexón.
Una vegada que refresqué lo básicu (para los mios intereses) sobre reflexón, ya taba en plan pa entamar a dibuxar un modelu de la mio curva de la “taza de café”.
Siguiendo les riegles qu’anties dixe, cualaquiera trayeutoria d’un rayu de lluz que desde un foco llegue al llau opuestu de la taza, reflexarase col mesmo ángulu col que incide, asina si l’ángulu ye cero la lluz volverá pol mesmo camín que vieno, si ye 15º reflexará con 15º d’ángulu, si ye 30º fadralo con 30, etc... Entos, si dibuxamos nuna circunferencia los rayos emitíos per un puntu de lluz que, per exemplu, ta nel llau derechu, y los que son reflexaos, podremos facer una representación la curva cardioide, que sedrá más exauta cuantes más trayeutories pintemos.
 
Trayeutoria de los rayo. Pa mayor claridá píntanse'n prieto los rayos incidentes, y n'encarnao los reflexaos cada diez graos, y namás nel hemisfériu norte.

   Na figura cabera pintamos la trayeutoria que siguen los rayos cada diez graos, como podemos ver si seguimos la llínia encarnada, xirando cada vez qu’interseuten dos llínies, amuesa la famosa cáustica cardioide. El nueso modelo ye percenciellu, pero imaxinemos que podemos pintar les trayeutories de los rayos de lluz hasta un grau infinitesimal, la nuesa representación, entós, si sedría una representación de una curva cardioide real.
   La idea de calcular el llargor d’una curva (a efeutos práuticos dibuxala) pente medies d’averamientos cada vez más finos, en nueso casu faciendo qu’el númberu de divisiones sía cada vegada mayor, ye de lo que se val el cálculu infinitesimal, así si sumamos tolos llargores resultantes de los averamientos cada vez más finos, lo que estamos faciendo, a groso modo, ye calcular la integral. Na práutica, calcular el llargor pa una curva concreta ye abondo enguedeyosu, y necesítase saber munchos trucos sobre cálculu, poro, y nun queriendo entrar n’aspeutos gafos, hai un aspeuto de tou ello que resulta interesante, depués resolver la curva atopamos que pa caún de los puntos de la cardioide cúmplese qu’el llargor de la curva hasta esi puntu ye igual al llargor de la trayeutoria del rayu desde el foco hasta’l so contauto cola cardioide, per eso cuando pintamos les trayeutories de los rayos lo que pintamos son puntos reales de la cardioide, que tres trazar infinitos puntos representan de forma real a la curva.
   El problema taba resuelto, poro entá quería siguir xugando cola idea, pa lo que fui beber a fontes antañones, a los trataos de xeometría del sieglu XVIII de la manu de Luigi Cremona, que desendolcó la so carrera alredor de la xeometría proyeutiva, y ye conocíu pola su forma de tratar l’equilibriu de fuercies estátiques, qu’estudió col sofitu de filos, y que trató d’una manera formal nel so “Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane”, pero esto déxolu pa otra entrada futura, au cuntaré cómo facer fermoses representaciones de epicicloides, nun sólo les cardidiodes, sinón otres curves de la mesma triba.

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