domingo, 15 de febrero de 2015

Los fractales: la xeometría del sieglu XXI (tercera parte)

   A la vista de los dos exemplos de fractales que vimos antes, volviendo ya a les carauterístiques de los fractales,  hai otra carauterística que ye perinteresante: les tendencies que tienen esos oxetos a aumentar o disminuir daqué propiedá fasta proporciones infinites. Esto pue que nun s’atalante de forma cenciella, vamos velo seliquín.

    Antes de nada, tornamos al exemplu de la curva de Koch.

   Koch valióse d’esta curva pa illustrar que yeren les curves non derivables. En xeneral, pa cualesquier puntu d’una curva podemos atopar la tanxente (la llínia que pasa per esi puntu solu ensin cortala), ye un preséu perutil, ya que con ella podemos calcular la derivada d’una función. Les curves que tienen esti comportamientu son derivables o reutificables. El casu ye que Kock proponía una triba de curva que nun yera derivable, nesti oxetu nun se pue trazar nenguna tanxente, nun somos quien a dibuxar una llínia que pase per un puntu namás. ¿Por qué? La curva tien un contornu infinitamente irregular, ta formada por ringorrangos infinitos. Esto fina nuna conclusión perinteresante, si cortamos la curva ente dos puntos cualesquiera, anque tean peraveraos, al estirar la curva atopamos que la reuta resultante tien un llargor infinitu. Tou esto xeneráu nuna rexón finita del espaciu.
   Vamos paranos un cachín nesti asuntu cavilando del revés. Arrancamos con una reuta con un llargor igual a 1, agora cambianos el terciu central por dos segmentos de llargor 1/3 tal cuálo apaez nel dibuxu.


   Por ciertu, esti primer movimientu define lo que va ser el xenerador del fractal, ya qu’esta ye la forma que vamos a apegar una y otra vegada. Colo dicho, apegamos el xenerador, anque reducíu un terciu, a la forma de riba, y depués repetimos una y otra vegada’l procesu, asina fasta l'infinitu...


   ¿Cuánto midirá’l conxuntu? Ye nidiu que la reuta del aniciu midi 1, pero, ¿la curva de la segunda iteración?, ¿y la tercera, y la n-esima?
    El llargor, a midía qu’iteramos, sedrá:
  Como vemos tres cada iteración el llargor crez, a lo primeru muncho, depués cada vegada menos, pero siempre aumenta. Esto llévanos a que'l llargor de la curva cabera (alcordémosnos que pa ello tenemos qu’iterar infinites veces) ye infinitu:

   ¿Y qué socede cola curva de Sierpinski? Nesi casu, si nos alcordamos, díbamos quitando-y  triángulos ensin parar, colo que l’área del triángulu ye más y más pequeña, siendo cero nel infinitu. Ye más l’área amernoga qu’esmecha, podemos ver el resultáu de calcular l’área pa delles iteraciones na tabla que sigui. Aniciamos con triángulu de llau 1, nos resultaos damos quince cifres significatives, que nun basten pa representar l’área na iteración 200.
   Tamos delantre d’oxetos ensin llendes exautes, que ponen unes torgues pergrandes a la hora de describilos. Necesitamos daqué que nos dexe carauterizar los oxetos que tienen estes propiedaes tan especiales. Pa ello vamos valinos d’un conceutu que toos coñocemos, anque pocos saben lo suxetivu que ye, trátase de la dimensión, que veremos otru día pa nun saturar al llector...

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