sábado, 21 de febrero de 2015

Los fractales: la xeometría del sieglu XXI (tercera parte)

   Si pintamos una llínia, ¿cuántes dimensiones tien? Una, ¿verdá?. Y una fueya, ¿cuántes tien? Dos. ¿Y una mazana? Tres, ¿nun ye asina? Pues non, nun dimos una. Resulta que la idea de dimensión nun ta nidia ente la xente. Cuando falamos del númberu de dimensiones en xeometría, trátase d’una astraición matemática, un puntu tien dimensión 0, pero si pintamos un puntu nun papel tien tres dimensiones, ya que tien un llargor, un anchor y un altor, son pequeños, pero tienlos. Lo mesmo socede cola cuerda, anque seya un filín tien tres dimensiones, y la fueya, y la mazana...  
   Dexando de llau estes apreciaciones, en xeneral cuando falamos de dimensión, falamos de Dimensión Topolóxica (DT) que pa un oxetu ye igual al espaciu que lo soporta, ye dicir palos oxetos del nueso mundiu ye 3. Nun universu simuláu de dos dimensiones los oxetos van tener esi mesmo númberu. 
¿Cuántes dimensiones tien esti cubu? Si ye que hay un cubu ehí, claro

   Col fin d´acenciellar los razonamientos vamos aceutar, por comenencia, que los dibuxos qu’apaecen agora representen oxetos de 1, 2 y 3 dimensiones.

   Si garramos l’oxetu d’una dimensión (la llínia) de llargor 1, y la partimos en cuatro cachos iguales, o lo que ye lo mesmo si L ye’l llargor total, y l un de los cachos, ésti val:
o dicho d’otra manera’l númberu de cachos ye:
   Si repetimos la operación col de 2-D (el cuadráu), dividiéndolu en cuatro cachos, pol mediu de dos reutes que crucien los centros de los llaos contrarios, tenemos:

y:
   Por últimu, l’oxetu 3-D partímoslu en ocho cachos con dos planos, tenemos:
y :
Resultáu de les operaciones de partición

    Pero,  ¿cuál ye’l motivu pol esplicamos esto? Si xeneralizamos les rellaciones atopamos que:
,onde DF ye lo que vamos nomar Dimensión Fractal. Con esta fórmula podemos calcular la dimensión de cualesquier forma xeométrica:
   Asina la llínia va tener 1-D, el cuadráu 2-D y el cubu 3-D. Resulta que tenemos el mesmo resultáu qu’atopamos cola DT , ¿pa qué tantes vueltes? Vamos volver sobre la curva de Koch. Si aplicamos la idea de DT, por muncho qu’ande nel espaciu la curva tien 1-D. Pero, y agora bien lo interesante, si aplicamos la fórmula de DF, vamos ver qu’apaez una dimensión con decimales, 1,26186.
    Sabemos que depués de facer la primer iteración, la reuta pasa a:

   Polo tanto N=4, ya que ta formada por 4 segmentos iguales d’un llargor 1/3 a la reuta orixinal (que valía 1). Si aplicamos:

  Como vemos el sentíu común diznos qu’una llinia tien 1-D, pero nesti casu la llinia tien 1,26186-D, qué quier dicir esto, pues qu’esta reuta tiende a ocupar l’espaciu bidimensional, anque nun llega. En xeneral, les curves fractales qu’atopamos nun planu cumplen: 1< DF  >2.
   El Triángulu de Sierpinski, tien una DT=2, pero la so DF =1,58496, si recordamos esta curva construíamosla quitando-y cachos triangulares, quitamos-y cachos de dimensión.
    Si siguiéramos estudiando otres curves fractales díbamos ver que caúna tien una DF distinta, ye per ello qu’esta seya la midía que s’usa pa carauterizar los fractales. Ye más, podemos dicir:
Un fractal ye un oxetu que tien la so DT menor que la so DF: DT < DF
 
   Podemos imaxinamos que la Dimensión ye como un lente, cuando intentamos ver daqué pequeñu con un de pocos aumentos nun vamos ver nada, si son munchos vamos velo tou esborriáu, namás que podemos ver l’oxetu col lente apropiáu, cola so dimensión.
   Agora ya tenemos una carauterística midible de los fractales, n’ocasiones podemos usar el métodu qu’estudiamos, pero na mayoría de los casos esti métodu ye pergafu d’aplicar, cuando non imposible, por mor a la dificultá d’atopar N(L). Ye per ello que s’usa un métodu venceyáu enforma al anterior, anque sigui un métodu más empíricu: ye’l box-counting. Con él podemos calcular otra triba de midía de dimensión, DCC, qu’anque nun ye exauta ye perasemeyada a DF.
    Entamamos metiendo’l fractal a estudiar nun cuadráu o nuna caxa (depende’l númberu de dimensiones) de llau L (en xeneral tien que tar normalizáu, tien que midir la unidá), y nél dibuxamos una rede de cuadradinos de llau l. Agora cuntamos el númberu de cuadrinos que tienen cachos del oxetu estudiáu, que nomamos N. Repetimos el procesu cada vez con redes más fines . Tenemos asina una serie de datos que si representamos nun gráficu con exes llogarítmicos vamos ver que tán axustamos a una reuta, de la que podemos calcular el so enclín , esti ye’l valor de DCC.
    Esta triba de midía ye perafayaiza a la hora d’estudiar la fractalidá d’oxetos naturales, asina como otros de calter más astrautu, ye la ferramienta acostumada pa calcular la dimensión fractal de cuasi cualesquier oxetu, y fasta hai programes d’usu cenciellu pal so cálculu, que puen báxase de la rede (p. ex. de Fractalyse.org).
   
    Ya tamos preparaos, nesti puntu, nel que coñocemos les carauterístiques básiques de los fractales y cómo cuantificalos, pa ver les tribes qu´esisten. Vamos velos a traviés de dellos fractales que podemos denomar como clásicos.

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