jueves, 12 de marzo de 2015

Los fractales: la xeometría del sieglu XXI (quinta parte)

Reutes que se curven y furacos nel quesu: fractales con Df entre 1 y 2

   Nesta estaya vamos falar de dos tribes de fractal, per un llau los que se formen a partir d´una llinia que se revira y curva hasta l´aburrimientu, y per ende medra la so dimensión; y per otru, planos a los que-yos vamos dir quitando cachos col fin de facer que la so dimensión baxe.

-Reutes revoltoses
   Nel capítulu cabero (enllaz) finamos alcordándonos de la Curva de Koch, dicíamos que si faciamos cruciar una llinia por cualesquier parte de la curva, y mirábamos los puntos onde entraba’n contautu lo que salía yera un Polvu de Cantor. Vamos volver un momentín a la idea del infinitu. Na escuela enseñaronnos qu'ente 1 y 3 hai un númberu, el 2. Más alantre cuando dixeron qu'esistíen los númberos decimales, vimos que non, qu'ente el 1 y el 3, hai infinitos númberos, pero nun fina ehí l´asuntu, ente el 1 y el 1,1, tamién hai infinitos númberos, y ente 1 y 1,000000000000000000000001 tamién, asina pa cualesquier intervalu que nos pete, por pequeñu que seya.
   Podemos pensar nuna llinia au vemos los númberos cardinales (1,2,3,4,.....) na que si nos averamos, al aumentar la escala, van apaeciendo ente ellos más númberos, y ente estos más y más, asina fasta la eternidá. Esta pequeña astraición damos una imaxen pernidia de les llendes de la Curva de Koch (y de munchos otros fractales), y socede tanto si entamamos a xenerala desde un triángulu equilláteru, como si lo facemos desde una reuta. Amás, lo mesmo que pasa col exemplu qu´acabo de dar, según vamos averándonos van apaeciendo más vueltes. Esto llévanos a un conceutu nuevu, la homotecia.
   Vamos pensar nel perfil de la mariña (más p´alantre vamos ver esti tema, agora, vamos usalo namás como símil), xeneralmente ye gafu, ellí una punta, ellí una bahía, una playa, otra punta; pero inda esa irregularidá, esos rasgos, independientemente de la escala que miremos, son bastantes asemeyaos. Si ampliámos la primer punta, vemos que nella hai otres puntines, entrantes, playines... Esti fenómenu tien llendes físiques, pero fasta esi puntu, la similaridá caltiénse, dicimos entós que tien homotecia interna.

   Perriba podemos dicir que homotecia ye una copia d´un oxetu o d´un tou, que pue ser del mesmo tamañu, más pequeñu o más grande, tal cuálo quedaría si la copiáramos con un pantógrafu. Les copies de la mariña del exemplu, son homotétiques estadísticamente, pero cuando vamos a la Curva de Koch, vemos que la homotecia ye exauta. Quier dicir que si garramos cualesquier cachu de la curva, con el vamos poder “embaldosar” la figura entera, amestando cachinos hasta completala.
   Recordaremos que la Curva de Koch tien una DF=1,2618, esta nun cambia a nenguna escala, ye una constante, esti comportamientu de la curva déxanos definir una nueva triba de dimensión, la de Homotecia (nun vamos estudiala equí por nun engafar l´asuntu), que bien a agabitar a la hora de carauterizar los diferentes fractales.
   Podemos probar a facer curves nueves usando otros que discurramos, pero DF siempre va tar más bien perbaxo de 1,5 que perriba. Si cavilamos nos fractales estudiaos, vamos cayer en cuenta qu´en nenguna parte del fractal hai un doble contautu, nun hai, por dicilo de daqué manera, cruciaes, si nos peta facer una curva con un DF mayor l'apaición de puntos dobles sedría más común, siendo imprescindibles en casos nos que queramos averamos a DF=2.       
   ¿Cómo ye qu'una llinia pue tener la mesma dimensión qu´un planu? Inda lo que dicía Euclides (llinia sólo llargor), esto ye posible, gracies a una triba de curves nomaes de Peano o d'enllenu.
   La curva de Peano orixinal entama nun planu normalizáu (1x1) que ta dividíu en nueve partes, y xuncimos los centros de cada división, de mou que pasemos por toos una sola vegada.

Esti sedrá´l xenerador, agora nun nos queda más qu´iterar una y otra vegada:


   Según vamos iterando pasen dos coses, l’área de les divisiones ye más y más pequeña, tiende a 0, mentantes, la curva tiende a enllenar la superficie, que n´algún momentu va ser 2.
   Podemos facer otra triba entamando con una llinia, a la que-y vamos facer una tresformación:

   Aniciamos el procesu, colo que sal:

    Hai munches curves venceyaes al conxuntu de Peano, na rede podemos ver milenta exemplos de curves, como la de Moore, Hilbert, Gosper o la Curva Dragón, caúna por distintes caleyes, pero toes elles enllenen el planu o superficies concretes lo mesmo que la Curva de Peano. Hai una (tamién consigue DF=2) qu´enllena un triángulu isósceles, ye la Curva de Cesàro. Vamos arrimanos a ella.
   Nuna llinia dibuxamos una perpendicular nel centru d´un llargor más pequeñu que la metá de la primer llinia:



   A caúna de les figures resultandes facemos-y la mesma tresformación:



   Variante d´ésta ye una, qu'a mi préstame muncho, na qu´en vez d´una llinia perpendicular amestamos-y un piquín, lo que sal ye daqué bien asemeyáu a una arboleda bien plantada:


   Esta curva tien unes carauterístiques perinteresantes, si cambianos el llargor y l´anchor del piquín vamos ver que camuda enforma'l resultáu, con piquinos anchos y baxos sal daqué asemeyáu a la Curva de Koch.



   Hasta equí, de momentu, lo tocante a les curves con dimensión fractal ente 1 y 2, pero habíamos falao que díbamos tocar les curves formaes por una supercie a les que-y díbamos quitando cachos, d’elles voi falate n’otra entrada postreta, y vas ver que lo meyor del quesu son los furacos...

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