jueves, 19 de marzo de 2015

Los fractales: la xeometría del sieglu XXI (sexta parte)

Lo meyor del quesu, los furacos: fractales con D ente 2 y 1
 
   El llector quiciabes crea que tamos repitiendo’l tema caberu, fractales con D ente 1 y 2, pero como vamos ver que nun ye asina. 




   Si nos alcordamos los fractales que tratamos fasta agora yeren llinies qu’entamaben a revolvese hasta que cubríen el planu o una superficie; agora vamos tratar sobre planos o superficies a los que-yos vamos dir quitando cachos col fin de reduci-yos la dimensión.
   Entamamos con un triángulu equilláteru, toos sabemos que la so dimensión ye 2 (tanto la topolóxica, como la fractal), si agora buscamos los puntos medios de caún de los llaos, y unímoslos, faciendo desapaecer la superficie que caltién esi triangulín, tenemos: 


   Si agora iteramos fasta l’aburrimientu (y un poco más p’allá) lo que vamos tener ye un oxetu con una dimensión fractal de 1,584962... 


   Hai dos coses que rescamplen d’esti oxetu, la primera ye que la so superficie ye práuticamente 0, mentantes que'l llargor  de la llinia que pasa per tolos triángulos tiende a dir a infinitu. Otra vegada atopamos un mostruu que diba a volver llocu a Euclides.
   Esta curva ye una de les construcciones fractales más célebres, atopamos dellos métodos pa desendolcala, por exemplu, la curva que Mandelbrot nomó Punta de Flecha.
   Aniciamos con la metá d’un hexágonu y facemos la tresformación que sigui:


Nes primeres iteraciones nun s’asemeya muncho, pero más p’alantre vemos que tienen muncho en común:


   Esta construcción tien, lo mesmo que'lTriángulu de Sierpinski, un llargor infinitu, ocupando’l mínimu espaciu posible (0 nel infinitu).
   Hai otres tribes, como por exemplu la qu’apaez en Triángulu de Pascal, na que los númberos pares cada vegada más abondantes formen los triangulinos interiores. Pero, la construcción más chocante débese al azar.
  Entamamos con un triángulu equilláteru con vértices A, B y C; pintamos un puntu en cualesquier parte de la superficie del triángulu. Agora necesitamos un xenerador de númberos aleatorios, nós proponemos un dau al qu’asignamos la siguiente rellación: 1 y 2 llau A, 3 y 4 llau B, 5 y 6 llau C.
   L’algoritmu de construcción sigui, tiramos el dau y dibuxamos una llinia ente’l puntu que marcamos-y el vértiz que nos diga l’azar a traviés del dau, buscamos el puntu mediu d’esa llinia, esi sedrá’l segundo puntu, agora iteramos un númberu infinitu de vegaes y tendremos un Triángulu de Sierpinski fechu con puntos.
   Al aniciu del procesu pue que dellos puntos caigan dientro de lo que van ser los furacos del Triángulu, pero de magar que s'’estabiliza, la ñube puntos va dir desendolcándose como diximos.
   Esti resultáu chocante esplícase pente medies de la teoría de fractales sibiasemeyaos de Barnsley. La curva de Sierpinski tien tres vértices, que podemos nomar, tamién, A, B y C, sabemos que ta formada a partir de tres copies más pequeñes de si mesma, caúna con llaos de la metá de la del aniciu. Si pintamos un segmentu desde cualesquier puntu de la curva fasta A, B o C, el puntu mediu tamién queda dientro de la curva.
   Hai un oxetu clásicu con propiedaes asemeyaes a la curva de Sierpinski, ye l’Alfombra de Sierpinski. Pa facela entamamos con un cuadráu, partímoslo en nueve cuadradinos iguales y cortamos el del mediu. Aplicamos la iteración a tolos cuadraos que queden una y otra vegada.


   Nesti casu la dimensión fractal del oxetu ta más averada a 2 que nel del Triángulu, 1,892.     Otres construcciones esploren l’área del pentágonu (DF=1,756), hexágonu (DF=1,63) y otros.
 
   Nin que dicir tien que toos estos oxetos, depués de facer iteraciones infinites, ye peraverada a 0, anque ensin llegar a desapaecer enxamás.

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