domingo, 16 de agosto de 2015

Los fractales: la xeometría del siglu XXI (novena parte)

Fractales y natura. Primer averamientu: la llinia de la mariña 

   Nuna entrada más p’atrás falamos sobre los tipos d’autosimilaridá: los mostruos que vimos yeren autosimilares exautos, había otros oxetos cuasiautosimilares, y por últimu taben los que yeren autosimilares estadísticamente falando, un exemplu que dábemos yera la llinia de la mariña. El problema del llargor de la mariña, ye un clásicu que va llevanos a tierres llonxanes, al mundiu fractal y les sos aplicaciones en casos concretos.



   ¿Cuánto midi la llende mariñana asturiana de llargo? La entruga paez tener fácil retruque, valnos con garrar un planu y midila. Vamos facer una preba, vamos midir el tramu de la mariña de Cabu Peñes (ente Peñes y Llumeres). A una escala de 1:100000 tenemos una midía aproximada de 3511 m. Pero, ¿qué socede si nos averamos más y volvemos a midir,  p. ex. a una escala de 1:70000? El resultáu ye 4275 m. Si siguimos averándonos más, el llargor va ser cada vegada mayor, nun nos tien que garrar de sorpresa, sabemos qu'al averamos a daqué los detalles aumenten, nesti cachu de la mariña socede lo mesmo que socedía na curva de Koch, apaecen detalles más pequeños que nun podíamos ver antes. 

  La tabla siguiente enseña les midíes pa diferentes niveles d´escala nun cachu la mariña central:


 
   El primero’n dase cuenta d’esti fechu foi Fry Richardson, allá polos sesenta del sieglu XX. Midió les llinies de mariña y otres llendes de munchos llugares, col fin d’estudiar precisamente los métodos de midida. Pa caúna de les llinies qu’estudió calculó un númberu que la definía. Ésti resultó que yera, más o menos, el mesmo independientemente del métodu qu’usase pa midir. Y ye más, cachos más pequeños sacaos de la mesma amuesa, calteníen el mesmo valor. A Richardson esti fechu nun-y llamó l’atención, foi Mandelbrot el que-y dio una vuelta más al torniellu. Esi númberu resultante de midir la mariña a distintes escales nun yera otra cosa qu’una midida de la dimensión fractal.     

  Vamos volver al cachu de la mariña asturiana qu’estudiamos antes, si calculamos la dimensión fractal d’ella (bien sia col métodu de Cuentacaxes, bien con otros métodos) algamamos que DF=1,36. Si agora garramos cachinos más pequeños el resultáu ye perasemeyáu, p. ex. Bañugues DF=1,37, Moniellu-Lluanco DF=1,35. Si siguimos midiendo vamos ver que la dimensión d’éstos va tar baillando ente ciertos valores, polo menos fasta cierta llende física.
  
   De sobra sabemos qu’un fractal caltién la so dimensión a tolos niveles, na llinia de la mariña tamién, polo que tamos delantre d’un fractal, con un comportamientu un tanto erráticu, pero al fin un fractal.

   Barnsley, Mandelbrot y otros estudiaron esti asuntu, y llegaron a una conclusión percuriosa. Depués d’estudiar costes y fronteres de países en milenta llugares cayeron na cuenta de que toes taben alredor d’un valor concretu: 1,261. Xustamente la dimensión fractal de la Curva de Koch.

   Ye nidio que les mariñes del tol mundiu nun s’asemeyen muncho a la célebre curva. Mandelbrot, llegó a obsesionase col tema, trató de crear un algoritmu que fuera capaz de xenerar una llinia asemeyada a una costa. La clave l’atopó nel movimientu Brownianu, un movimientu aleatoriu col que consiguió representar lo azarosu de les llinies mariñanes. Esti ye l'inquiz pol que  la mariña nun ye una llinia reuta, l’azar, tanto a pequeña como a gran escala, produz una erosión diferencial que conforma’l so perfil carauterísticu.

   Les implicaciones del estudiu de la fractalidá de la mariña son nidies. Si la llinia que separta la tierra de la mar fuera reuta, el valor de DF sedría 1, pero nun ye asina, sinón que'l so perfil ye’l d’una fueya de xerra, y per ende DF>1. Cuanto más lloñe de 1 más aburuyada ye, podemos entós tomar esta midía como’l grau de “rugosidá”.

   Pa un xeógrafu les implicaciones d’esti fechu son de poco interés. La descripción de detalles perfinos fadríen del so estudiu una brenga continua col detalle creciente, faciendo-y imposible'l llabor de midir llonxitudes y árees de los diferentes elementos xeográficos. Ye n’otros campos au la consideración d’esta dimensión garra protagonismu. Vamos pensar nun arrame de petroleu na mar, pue ser inevitable que la mancha llegue a la rexa y calistre tou lo qu’atope. Les autoridaes competentes podíen tratar de desverar la mancha au ficiera menos dañu, y fuese más cenciellu quitar el crudu. ¿Onde ye esi llugar? El llugar onde la dimensión tea más averada a 1 (ye nidiu qu’habría de tener en cuenta más fautores).

   Un ecólogu podría separtar tramos de la mariña en distintos hábitats sofitáu cola dimensión (p. ex. el perfil d’una playa avérase muncho a 1, mentantes qu’una rexón rocosa tien 1,2 o más). Pa encima’l métodu tien una ventaxa, pue trabayar a distintos niveles d’escala, namás depende de grau de “finura” al que quiera llegase.

   Delantre nós tenemos una nueva forma d’atalantar la realidá, fasta agora un xeomorfólogu, per exemplu, atopaba grandes torgues a la hora d’interpretar d’una forma matemática les rellaciones ente, per exemplu, la forma de la mariña y el réximen d’oles que s’esfrellen nella. Esti tipu de relaciones nun siguen un modelu llinial, polo que la so interpretación siempre foi pergafa. Güei tán aplicándose téuniques fractales y otres venceyaes al caos determinista nel estudiu d’esti tipu de relaciones. Trabayu pioneru n’España foi’l de Docampo y Bikuña. Antes, n’otros llugares, ya entamaren a aplicar les téuniques d’análisis fractal al estudiu y la xestión del territoriu. 
Vimos dellos exemplos onde estudiamos la fractalidá d’una llende. Otres llendes tamién puen estudiase con estes téuniques, asina los cauces de los ríos y ñores tienen dimensiones mayores de 1, y aseméyanse muncho nes sos propiedaes a les curves de Peano.   

   Un ríu sigui una llinia más o menos aburullada ente lo que nomamos ñacimientu y bocana, ésta, ya lo diximos antes, tien una dimensión fractal mayor que 1. Ye más, según los datos atopaos en ríos de tol mundiu ronda D=1,2. Otra vegada atopamos esa recurrente dimensión, tan averada a la de la curva de Koch. Vamos averamos a esta consecuencia.
Naide dubia que les cuenques hidrográfiques seyan sistemes percomplexos, pues son el resultáu d’un procesu de formación nel que tán implicaos delles variables tales como’l clima, la orografía del paisax, la vexetación y otres, pero en contra de lo que pueda pensase,  los estudios fechos desde fai tiempu atrás dan unos resultaos que reflexen grandes simetríes nes cualidaes de les cuenques hidrográfiques de tol mundiu.

   Antes que naide falara de fractales, Horton descubrió, nos años cuarenta del sieglu XX,  delles regles que s’atopen en tolos ríos y que recuerden bastante a la nuesa idea de fractal:
    -Rellación de bifurcación: ye dicir, el númberu afluentes de la corriente principal caltiénse en toles escales d’una cuenca concreta.
    -Llargor de los cauces: les distancies que tienen que recorrer los afluentes a una corriente mayor son proporcionales a toles escales.
    -Árees de rede de drenaxe: la rellación ente les árees promediu que drenen a cauces superior caltiénse.

   Depués Hack, tamién nos cuarenta, estudió estes relaciones potenciales. Los sos resultaos dieron más puxu a lo atopáu por Horton, que l’aparente complexidá d’estos sistemes  taba organizada d’una manera bastate cenciella y predicible.
Cuando Mandelbrot llegó, ya tenía mediu trabayu fechu, anque por ello nun-y quitó importancia. Sofitáu en métodos analíticos y en resultaos empíricos estableció que la rellación fractal llargor-área ye constante, tando la dimensión fractal, como ya diximos, alredor de 1,2.

   En xeneral les rexones d’interfase tán venceyaes a dimensiones fractales con decimales, tanto si son llinies como si son superficies o volúmenes. Esta idea encamínanos a la siguiente estaya: ñubes, oceanos y arremes de petroleu. Pero esto queda pa otru día…

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