lunes, 28 de diciembre de 2015

Los fractales: la xeometría del sieglu XXI (décimotercera parte, y pieslle)

Newton y llingües humanes: les lleis potenciales

    Nel capítulu cabero, col fin de nun amoriar al llector, escaecimos (adré) un datu que ye común nos temes nomaos nél: toos siguen lleis potenciales.
    P’atalantar que son vamos dir pola puerta d’atrás, a traviés de la llei de Gravitación Universal de Newton; esta diz:
La fuercia d´atraición ente dos cuerpos de mases m1 y m2 separtaos una distancia d ye proporcional al productu de les sos mases e inversamente proporcional al cuadráu de la distancia

    Lo que nos convién a nós ye la segunda parte, cómo camuda l’atraición ente los cuerpos según tean de separtaos. Ésta sigue una llei potencial, l’atraición ente los cuerpos ye menor cuanto más lloñe, pero d’una forma esponencial; asina si tán a una distancia de un metru, y movémoslos al doble la distancia vamos tener que l’atraición va ser cuatro veces menos que a lo primero. Si la ralura ye’l triple’l valor de la fuercia d’atraición sedrá nueve veces menos...
    ¿Qué pasa si’n vez de falar en metros falamos en kilómetros o n’años lluz? Socede lo mesmo, la rellación potencial caltiénse, independientemente de la escala qu’usemos. Tamos, entós, delantre d’un procesu autosimilar.

    Na natura abonden los procesos que siguen lleis potenciales, como los que vimos ehí p’atrás. Anque nun tienen porqué siguir la rellación que vimos agora, hai casos nos que la relación baxa esponencialmente, n’otros casos l’esponente nun ye un númberu cenciellu, sinón una ecuación, d’ehí que seya tan gafu caltriar los procesos naturales, pa ello hai que descubrir cuála ye la ecuación que pon en movimientu’l sistema.
   Los procesos que siguen lleis potenciales tamién son nomaos llibres d’escala. Un exemplu chocante d’esto ye’l comportamientu de les llingües humanes.
   
   Podemos pensar que l’asturianu nun tien muncho que ver col inglés no que toca a la frecuencia d’usu de les pallabres, esto nun ye asina, esiste una llei potencial que da les relaciones ente l’usu de les pallabres, y que siguen tolos idiomes.
   Pa cualesquier discursu, pue ser esti mesmo testu, hai delles pallabres que se repiten. Delles apaecen munches vegaes, y otres apaecen namás qu’una vegada. Pa saber cuánto se repite una pallabra podemos cuntar el númberu de vegaes que sal, pero podemos facer una tresformación que va valinos pa poder comparar con otros testos. Podemos calcular la frecuencia d’esa pallabra, pa ello dividimos el númberu de vegaes qu’apaez la pallabra ente’l númberu total de pallabres que tien el discursu, esa sedrá la frecuencia. Si agora facemos una llista con toles pallabres según la so frecuencia, p sedrá’l llugar d’una pallabra concreta con probabilidá P.
    En 1949  el filólogu G. Zipf atopó que la rellación ente p y P ye universal, e independiente de cualesquier otru parámetru. Nel estudiu de diferentes testos en delles llingües atopó qu’hai una rellación ente la frecuencia y el so rangu.


    Según la ecuación el rangu de la pallabra ye tanto mayor cuando apaez menos veces nel testu. Esta ye la llei de Zipf, y anque nun lo paeza ye potencial, porque 1/p ye lo mesmo de  p eleváu a -1.
   La llei tamién nos diz la dependencia de la frecuencia d’una pallabra respeutu al númberu de pallabra n’usu d’un vocabulariu. Cuanto más grande ye la esbilla de pallabres menor va ser la frecuencia de pallabres de rangos altos, o d’usu frecuente, ye lo que Mandelbrot nomó “temperatura del discursu”, cuanta mayor temperatura más ricu ye’l vocabulariu. Ésto derivolo d’una deducción que fexo, mira la ecuación qu’apaez darréu:


   Los tres parámetros miden la bayura de la llingua, siendo’l más importante D. Pa Mandelbrot una manera de midir la bayura ye ver la frecuencia d’usu de pallabres “rares”, qu’aumenta a razón de D, y que podemos tomar como una medida dimensional.
   Lo guapu de la llei de Zipf ye que caltiénse amás de nes les llingües al usu, n’otres llingües especiales, como les xírigues, y hasta nos testos d’un escritor concretu.

  Sobre l’orixen biolóxicu (la llingua nun dexa de ser un mecanismu biolóxicu) de los comportamientos equí trataos falóse muncho, y paez ser que toos tenemos nel cerebru cierta información sobre cómo funciona la llingua, d’ehí que la llei de Zipf calténgas’n toles llingües, talmente como si esistiera una especie d’órganu de la llingua que diznos cómo hai qu’usala.
   
   Tovía podemos dir más p’alla, si pensamos nes pallabres como conceutos y vamos xunciendo unes y otres por afinidaes, vamos formar una rede llibre d’escala. Cabila nuna pallabra concreta, a partir della vienen a la nuesa cabeza un colmiellu de pallabres que podemos venceyar a ella tanto llingüística como metafóricamente. A la vez toes eses pallabres van tar xuncíes a otres, asina hasta coser una rede onde les pallabres tán venceyaes unes con otres. Nesta rede hai delles que tienen munches conexones, son ñudos, y otres malapenes unes poques; la estructura de la rede ye autosimilar o llibre d´escala, atopando formes asemeyaes a distintes escales.
    Esti mesmo comportamientu apaez n’otres redes complexes, como les redes neuronales, de comunicación o les redes de rellaciones sociales. Paez ser que tamos condelgaos a vivir ente fractales.

Pieslle de la serie

    Fina l’añu 2015, y tamién fina la serie de los fractales, pa allegría de daquién, nun quier dicir que nun futuru nun vuelva al tema, pero ya desde un enfoque práuticu, con esperimentos cenciellos (o non) y efeutos matemáticos curiosos.
   A lo llargo d’esta serie desendolqué idees alredor de los fractales, y aplicaciones en dellos campos bien estremaos. Nun son toes les que son, nin son toes les que tán, pero p'amuesa ye bonu un botón. Ta por ver si nun futuru toos esos preseos desendolcaos alredor de la fractalidá dan los frutos prometíos,  o atopen otru tipu de resultaos.
   Si nos alcordamos una carauterística común a munchos de los fenómenos estudiaos ye que’l so comportamientu ye non-llinial. Nin que dicir tien que non tolos fenómenos non lliniales tán venceyaos a fractales, ye más, la mayoría caen nel caos, y amosen comportamientos hasta agora inoraos. La idega de la serie qu’agora fina, yera estudiar los fractales, ye per ello que malapenes nomamos los socesos caóticos, de los que s’ocupa una rama de les matemátiques que venceya’l caos colos fractales, ye’l caos determinista, disciplina que desendolcóse enforma nes últimes dos décades, y que tien bien merecío que se dedique, polo menos, otra serie (ya veremos lo que pasa)…

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