sábado, 28 de febrero de 2015

Los fractales: la xeometría del sieglu XXI (cuarta parte)

Fractales clásicos: un catálogu de mostruos

    Lo mesmo qu´asocedía nos circos del sieglu XIX el catálogu de fractales ta enllén de mostruos. Esos “seres” ya´l so comportamientu oriscu escapen de les llendes de la intuición ya´l sentíu común, lo normal ye pensar que les curves son reducibles, resultáu d´aplicar una función continua, de magar que nun sepamos que ye una función la tiesta diznos que tou ye suavín y cenciellu. La esperiencia diz lo contrariu, les curves diferenciables namás que tán nos llibros de testu, nos cálculos d´inxeniería, la realidá ye más gafa que tou eso. Güei vamos a entamar a ver los fractales clásicos, con mires a ver, col tiempu, los fractales qu'apaecen na natura.

  

  Matando culiebres: fractales de Df ente 0 y 1
 
   Del fractal que nos vamos ocupar, con dimensión fractal ente 0 y 1, ye, según Beniot Mandelbrot, de la prehistoria fractal. Trátase del Polvu de Cantor.
    L´aniciu ye una llinia (nel sentíu xeométricu: un oxetu con llargor namás) que partimos en tres cachos, quitamos-y el del mediu (esti sedría´l xenerador del fractal). Lo siguiente conocemoslo ya, iterar el procesu hasta l’infinitu. El resultáu ye un polvu perfinu que malapenes enllena l´espaciu, y del que nun podemos más que facer representaciones porcaces, au por más que queramos nun nos vamos averar al aspeutu real del “bichu”.

Representación gráfica de les cuatro primeres iteraciones




     ¿Cuáles van ser les dimensiones d´esti conxuntu? Según lo que diz Euclides la llinia ye un llargor ensin anchor, polo tanto la llinia tien dimensión topolóxica 1 (DT =1). Por otru llau, el puntu ye lo que nun tien partes, polo que DT =0. Con esto, y siguiendo a Euclides, l´oxetu anició con 1-D, pero al finar, va tar formáu por infinitos puntinos separtaos infinitamente va tener 0-D. Como ya vimos esta dimensión ye la topolóxica, pero ¿qu´hai de la fractal? Si nos alcordamos

polo que


   El Polvu de Cantor ta nun llugar estrañu del universu, a mediu camín d´esistir y non esistir.
Fice delles pruebes con regles distintes de corte (el llector puede probar tamién), y atopé dimensiones bien asemeyaes (0,6826, 0,5...) anque los polvos qu´apaecieron fueron destremaos enforma unos d´otros.
Hasta equí el nueso oxetu ensin de dexar de ser raru nun tien tanto de mostruu, lo que vien agora va enseñanos el llau más escuru d´esta llonxana polvoreda.
   Sabemos qu'una vegada que ficimos infinites iteraciones, lo que tenemos son infinitos puntos infinitamente pequeños, y ehí lo verdaderamente mostruosu, resulta qu'inda ser tou vaciu tovía podemos sacar daqué d´elli. Pensemos que si fuéramos quien a atopar un puntín d´esos, y echaremos andar a la gueta del siguiente, anque caminaremos tola nuesa vida nun díbamos atopalo, nin siquiera si nos relevasen tolos seres humanos qu´esistieron y esistirán enxamás; y tovía asina, l’oxetu seguiría esistiendo.
    Nun se al llector, pero a mi produzme voltura, y lo mesmo que a Jean Paul Sartré en "La Nausea", intentar imaxiname esa infinitú. A Cantor, pamidea, que-y pasó lo mesmo, y por eso dedicó la so vida a estudiar el continuu, l'infinitu; ye más foi'l primeru n'afirmar qu'hai dellos niveles d´infinitu, caún igual d´infinitu, pero qu'unos caltienen a otros dientro de so.
    Hai una cosina más sobre esta llinia qu'hai que rescamplar. Si cruciamos una llinia a traviés de cualesquier parte de la curva de Koch (http://cienciaastur.blogspot.com.es/2015/02/los-fractales-la-xeometria-del-sieglu_15.html), lo que vamos ver ye que la ralura de los puntos de contautu onde ésta toca la curva siguen el mesmo patrón qu´el Polvu de Cantor. Esto llevanos de nuevu al puntu d'aniciu, los fractales de dimensión ente 1 y 2, que veremos n'otra entrada.

Les otres matemátiques: píldores alternatives a les lleiciones gafes de mates

Triángulos y Pi

    En xeneral cabilamos que los otros tienen la mesma visión de les coses que nós, cosa que nun ye verdá, y más cuanto más lloñe nel tiempu, asina cuando nos falen de les cultures antigües nun somos quien a ponenos na mente d’aquelles xentes. Ye algo pergrave nes enseñances de les matemátiques, au nos despliquen  les fórmules clásiques (les griegues) cola cosmoloxía de güei, colos métodos y operaciones actuales, cuando enantes llegábase a munchos resultaos por métodos gráficos o por cuentes, cuasi, de la vieya. Si nos desplicasen munches d’eses fórmules colos métodos qu’emplegaron los sos “inventores” quiciabes atalantasenles meyor los escolinos. Ye’l casu del cálculu de Pi, y les fórmules de la circunferencia y l’área qu’esta encierra. ..
   
   Yera una clase normal, dellos taben pasando de too y otros concentrábense’n siguir la lleición de Toño, sobre nun m’alcuerdo qué, ensin ser coscientes de que díbamos camudar de paradigma, la nuesa compresión de les matemátiques, y del mundu mesmo, bono, o yo polo  menos. La entruga quedó como  nel aire: -¿D’au vien Pi? Pi val 3,1416, pero d’onde vien. Nenguno sabía’l retruque a la entruga. Dibuxó  un redondel na pizarra, y después trazó’l radiu (r) y una rayina perbaxo (l), que midía lo mesmo que la circunferencia:


   Resultaba que Pi salía d’ehí, de venceyar el diámetru (el doble del radiu), y el llargor de la circunferencia (l), y pa cualquier que sea la midida d’estos, ye constante:
     A esos resultaos llegaron namás que con cuerdes, palos, dibuxando nel sable, y con muncho inxeniu, y anque’l valor de Pi (qu’espresaben como fraición, non como decimal) nun yera tan esautu como’l que se conoz güei, yera perútil, porque a partir d’esa rellación llégase a toles fórmules pa calcular valores de círculos.
Por exemplu, ¿cuánto midi la circunferencia? Si

tenemos que



o

¿Qué fácil, non? Pues si, razonando paez que sal…
   Agora l’área, ¿d’au sal? Pa Arquímedes el desendolque de la fórmula fáise pente medies del triángulu. Por ciertu, la formula del triángulu tamién tien el so porqué, sal de partir en dos un rectángulu, del que ya sabemos que la so fórmula ye la base (b) pol altor (h), polo qu’al partilu pola metá sal la conocía base por altor partíu por dos:


   Siguimos col área del círculu, resulta que l’área ye igual a la d’un triángulu rectángulu, nel que los catetos (los llaos más curtios) son el radiu y el llargor de la circunferencia, o sía:


y como’l llargor de la circunferencia, como ya diximos, ye 2rπ, entós sustituyendo:

   
Asina de cenciellu, ya ves, la verdá que viendo aquello, les matemátiques paecieron menos abegoses, y hasta los alumnos más “elementos” paecieron atalantar aquella esplicación, poro sonó’l timbrazu de salir de clase, asina que la troza d’arrastrar les silles y les meses diluyeron la maxia del momentu...

miércoles, 25 de febrero de 2015

La mente de neñu

   Porqué l’universu, la materia, la vida na Tierra, l’equilibriu nel funcionar de la natura… Pamique, de magar que teo usu de razón fáigome les mesmes entrugues, quiciabes pola mor de que quedo plasmáu al ver los socesos pequeños que desendolquen nel mundiu: un rayu de lluz qu’entra pente medies de los furaquinos de la presiana, el cayer de les gotes de lluvia, un beranín a la gueta inseutos nuna pomarada…
   Les mios entrugues son como les que fae un neñu pal que tou ye nuevu: ¿qué…? ¿pa qué…? ¿cómo…? Entrugues que según medra ún va escaeciendo, pues a midida que nos facemos vieyos entamamos a cuntar que sábemoslo too del mundiu; anque dellos nun tresvolen esi pruyir de la mente del neñu, pal que too ye nuevu, y cada día, cada hora, cada ratín hai fechos que puen dexanos plasmaos, anque malapenes nadie los aprecia, namás dellos que nun perdieron esi pruyir de la mente del neñu, pal que tou ye nuevu…
   Y ye qu’escaecemos la curiosidá, la capacidá d’apreciar los pequeños socesos, que a lo cabero soceden a diariu, y nun son dignos de l’atención de nueso, poro son estos casos, los fechos del día a día, los que plasmaron a munches presones con alma de neñu, desde l’alborada de la humanidá, y a los que dieron explicación, con mayor o menor éxitu. Ye verdá qu’ atalantamos el mundiu muncho meyor depués de xeneraciones y xeneraciones d’esistencia del llinax nueso, güei vemos normales  fechos que pa los nuesos ancestros yeren misteriosos, y hasta sobrecoyedores, gracies a presones que supieron averase a esos pequeños socesos, ellos ficieron florecer el  pensamiento humanu.
   La mente del neñu ta abierta’l al mundiu. Tenemos que deprender muncho de los nuesos propios neños. El métodu científicu tien muncho que ver con como deprendenmos cuando somos neños, ¡los neños usen el métodu científicu! Faen un experimentu, por exemplu meter un xuguete nuna caxa, si nun funciona refuguen la idea (contraste d’hipótesis), si funciona repiten l’esperimentu (repetición d’ensayos), y depués de repitir y repitir l’esperimentu xenerallicen los resustaos. Asina van (vamos) deprendiendo, pasín a pasu, esperimentando, y xenerallizando los resultaos, y anque hai vegaes que esa xenerallización nun ye correuta, lo mesmo qu’en ciencia, nuevos esperimentos van finar refugándola, cambiándola por otra.  El so interés ye enciclopédicu, nun se-yos escapa nada, tando con ellos, y atentos a lo que socede,  de xuru que vas plasmar au llega’l so inxeniu,  y au llega el to desconocimientu...
   Yo, anque siempre trato d’atopar los pequeños socesos diarios, y dexó rienda suelta a les preguntes que se fae la mio mente de neñu, entá doi munches coses por sentaes y conocíes, ya que a lo cabero soceden tolos díes, ye por eso, que cuando toi cola mio fía, vuelvo a deprender les pequeñes cosines del mundiu, a traviés de los sos güeyos, vuelvo a esperimentar la maxia de la natura. Vuelvo a abrir los güeyos a los pequeños (perpequeños) socesos del día a día nos que nun reparaba, y vuelvo a faceme entrugues vieyes y entrugues nueves. 

De la manina de la mio fía vuelvo a facer
entrugues vieyes y entrugues nueves

martes, 24 de febrero de 2015

¿Yé un barómetru la mio taza de café?

   La sociedá d’anguaño xira cada vegada más alredor d’internet, que mueve una cantidá d’información pergrande, poro, ésta nun ye toda de la mesma calidá, nin tien el mesmo valor, la rede ta enllena de falses creencies, mitos e informaciones trafucaes. Hai páxinas de tou tipu, y munches dicen barbaridaes, incluso delles dedicaes a la divulgación científica, vamos velo con un exemplu.
    Navegaba a la deriva n’internet, mentantes tomaba’l café de media tarde, cuando escribí nel buscador “café ciencia”. Atopó millones de resultaos, y una de les primeres páxines qu’apaeció, yera un blogue, taba encabezada asina: “Cómo predecir el tiempo con un taza de café”. Llamome muncho l’atención, pues teo interés na meteoroloxía práutica, y préstame conocer métodos cenciellos colos qu’aguriar los pequeños cambeos a cortu plazu. Según aquel blog, en función del comportamientu de les gorgoxes que apaecen al escanciar el café (o cualquier otru llíquidu) nuna taza podía conocese’l comportamientu de l’atmosfera nes siguientes doce hores, l’efeuto resultóme chocante, poro, ¿podía enfotar n’él? Yo nun suelo creeme les coses que veo n’internet de bones a primeres, amás sonabame un poco como los métodos de les bruxes da auriar el futuru na borra’l café, polo que decidí comprobar el métodu col fin de aceutarlo o refugalo.
¿yé la mio taza un barómetru?

    La predicción del tiempu pente medies de les gorgoxes nel café, según la información del blogue, sofitábase nel estáu de la presión atmostéfica, si había baxes presiones les gorgoxes quedaben centru, si yeren altes migraben hacia les paredes de la taza, talmente como si la presión les emburriase, si yera verdá la presión atmosférica d’esi día y la distancia au llegaben les gorgoxen habían de tar venceyaes. Decidí entamar a recoyer cada mañana los datos de presión atmosférica y distancia a la que les gorgoxes llegaben respeuto del centru de la taza, traté de sistematizar el ritual de servir el café col fin de que la forma de servir ésti nun fuese una variable más, lo que valió pa que la mio muyer punxerame’l nomatu, otra vegada, d’escéntricu. Too esto tenía un fin, recoyer una amuesa grande para poder estudiar si taben venceyaes la presión y la distancia. Pa analizar los datos use un coeficiente de correllación, un método qu’amás de nun ser abegosu de facer (cualesquier fueya de cálculu tien esti preseu) ye perfiable, vamos dalgo más d’esti métodu.
    En ciencia son munches les ocasiones nes que lo que se busca ye atopar si dos variables tán o no venceyaes ente elles, y si les dos variables cambien a la vez, bien sía de forma positiva, cuando les dos aumenten a la par, o negativa, cuando una aumenta y otra amenorga, esto ye lo que midi’l coeficiente de correllación, cuánto y de qué manera tan venceyaes les dos variables. Ye un preseu perusáu, y munches de les investigaciones qu’apaecen nes noticies sofiten los sos resultaos en pruebes de correlación, poro, en munches ocasiones, sobre tou cuando la información queda’n manos de los periodistes, tiéndese a asociar qu’el cambeo nuna ye la causante de la otra, cuando nun siempre ye asina, en munchos casos suel haber otres variables venceyaes a éstes, que son les verdaderes causantes de esa relación, imaxinemos por exemplu qu’estudiamos la esperanza de vida d’un grupu de presones y el consumu d’una bebida refrescante llamada Tonta-loca, y atopamos qu’hai correlación negativa ente beber el refrescu y la esperanza de vida, ye dicir que los que beben muncho muerren anties, estos resultaos nun quieren dicir que la bebida mesma seya la causante de la muerte, lo más fácil ye que les presones que más beban esi refrescu amás tean otres zunes poco saludables como tener una dieta hipercalórica, esti ye un exemplu namás, poro ye percomún que nos medios xeneralicense los resultaos d’estos análisis, otres vegaes son los propios investigadores los que sensacionallicen los resultaos pa da-y visibilidá nos medios la so investigación, anque son los menos, asina que cuidáu al usar o interpretar el coeficiente de correllación.
    Polo común, anties de facer nengún cálculu suel facese un gráficu au se representes les dos variables por pares, nun diagrama de dispersión como los siguientes, nos que simulo los dellos resultados de les posibilidaes que podía atopar nel estudiu de les gorgoxes, siendo los datos de la presión los reales y los de la distancia a les que llegaben les gorgoxes simulaos en función a la presión:
simulación de correllación positiva

simulación de nenguna correllación
   El primer casu cuenta como sedría’l diagrama si les dos variables tuviesen venceyaes de forma positiva, polo que les dos aumentaben a la vez, lo que vese perbien na direición de la reuta; nel segundo nun habría relación nenguna ente una variable y otra, polo que vemos que nun tien enclín práuticamente. Nos dos casos vemos un numberín esi ye’l coeficiente de correllación, esti siempre varía ente 1 (correlación positiva perfeuta) y -1 (correlación negativa perfeuta), siendo cero nenguna correlación, asina cuando más averáu tea’l coeficiente a los estremos más grande ye la correlación, anque hai vegaes que un coeficiete relativamente baxo pue ser estadísticamente significativu, pa eso hai tables au consultar los nuesos resultaos, anque val como norma qu’a partir d’un coeficiente de 0,4 (o -0,4) les correlaciones ya podemos entamar a pensar que les variables tienen daqué relación.
    Bono, y depués de tou esti enguedeyu, ¿qué pasó colos datos que garré? ¿Valía como barómetro la mio taza de café? La respuesta foi pernidia, un non rotundu, mira la gráfica colos datos reales:

datos atopaos nel estudiu, el mio café nun ye un barómetru
   Anque los datos de la distacia teníen daqué variación, entre 8 y 13 mm desde’l centru, esta variación nun taba pa nada venceyada cola variación de la presión atmosférica, que vese nun solo al mirar el gráficu, sinón col valor del coeficiente de correllación calculáu, 0,00XXXX. Ye más, después de dellos díes tomando datos ya entamé a ver cuálos diben ser los resultaos, y anque siguí apuntándolos cada día, entamé a facer otres pruebes, por exemplu, la distancia hasta onde llegaben les gorgoxes taba venceyada enforma col altor d’au cayía’l café al escancialu (coeficiente de correllación 0,83), tamién taba venceyáu cola densidá del llíquidu, pues probé con dellos (café con llechi, aceite y otros), anque nesti casu de forma negativa (con un resultáu de -0,69).
    Como visti la información que nos cuntaba aquella páxina (bonu y otres más, que daben la mesma información, y que parecíen copiase unes a otres) yera del tou errónea, anque yera una páxina de divulgación de ciencia, por suerte la ciencia tien los sos métodos pa refugar les faltes creencies y teoríes, y con un poquiñín d’esfuerzu pudimos ver que taben confundíos, y qu’había otros fautores que si repercudíen na distancia au llegaben les gorgoxes qu’aparecíen al escanciar el mio café.

sábado, 21 de febrero de 2015

Los fractales: la xeometría del sieglu XXI (tercera parte)

   Si pintamos una llínia, ¿cuántes dimensiones tien? Una, ¿verdá?. Y una fueya, ¿cuántes tien? Dos. ¿Y una mazana? Tres, ¿nun ye asina? Pues non, nun dimos una. Resulta que la idea de dimensión nun ta nidia ente la xente. Cuando falamos del númberu de dimensiones en xeometría, trátase d’una astraición matemática, un puntu tien dimensión 0, pero si pintamos un puntu nun papel tien tres dimensiones, ya que tien un llargor, un anchor y un altor, son pequeños, pero tienlos. Lo mesmo socede cola cuerda, anque seya un filín tien tres dimensiones, y la fueya, y la mazana...  
   Dexando de llau estes apreciaciones, en xeneral cuando falamos de dimensión, falamos de Dimensión Topolóxica (DT) que pa un oxetu ye igual al espaciu que lo soporta, ye dicir palos oxetos del nueso mundiu ye 3. Nun universu simuláu de dos dimensiones los oxetos van tener esi mesmo númberu. 
¿Cuántes dimensiones tien esti cubu? Si ye que hay un cubu ehí, claro

   Col fin d´acenciellar los razonamientos vamos aceutar, por comenencia, que los dibuxos qu’apaecen agora representen oxetos de 1, 2 y 3 dimensiones.

   Si garramos l’oxetu d’una dimensión (la llínia) de llargor 1, y la partimos en cuatro cachos iguales, o lo que ye lo mesmo si L ye’l llargor total, y l un de los cachos, ésti val:
o dicho d’otra manera’l númberu de cachos ye:
   Si repetimos la operación col de 2-D (el cuadráu), dividiéndolu en cuatro cachos, pol mediu de dos reutes que crucien los centros de los llaos contrarios, tenemos:

y:
   Por últimu, l’oxetu 3-D partímoslu en ocho cachos con dos planos, tenemos:
y :
Resultáu de les operaciones de partición

    Pero,  ¿cuál ye’l motivu pol esplicamos esto? Si xeneralizamos les rellaciones atopamos que:
,onde DF ye lo que vamos nomar Dimensión Fractal. Con esta fórmula podemos calcular la dimensión de cualesquier forma xeométrica:
   Asina la llínia va tener 1-D, el cuadráu 2-D y el cubu 3-D. Resulta que tenemos el mesmo resultáu qu’atopamos cola DT , ¿pa qué tantes vueltes? Vamos volver sobre la curva de Koch. Si aplicamos la idea de DT, por muncho qu’ande nel espaciu la curva tien 1-D. Pero, y agora bien lo interesante, si aplicamos la fórmula de DF, vamos ver qu’apaez una dimensión con decimales, 1,26186.
    Sabemos que depués de facer la primer iteración, la reuta pasa a:

   Polo tanto N=4, ya que ta formada por 4 segmentos iguales d’un llargor 1/3 a la reuta orixinal (que valía 1). Si aplicamos:

  Como vemos el sentíu común diznos qu’una llinia tien 1-D, pero nesti casu la llinia tien 1,26186-D, qué quier dicir esto, pues qu’esta reuta tiende a ocupar l’espaciu bidimensional, anque nun llega. En xeneral, les curves fractales qu’atopamos nun planu cumplen: 1< DF  >2.
   El Triángulu de Sierpinski, tien una DT=2, pero la so DF =1,58496, si recordamos esta curva construíamosla quitando-y cachos triangulares, quitamos-y cachos de dimensión.
    Si siguiéramos estudiando otres curves fractales díbamos ver que caúna tien una DF distinta, ye per ello qu’esta seya la midía que s’usa pa carauterizar los fractales. Ye más, podemos dicir:
Un fractal ye un oxetu que tien la so DT menor que la so DF: DT < DF
 
   Podemos imaxinamos que la Dimensión ye como un lente, cuando intentamos ver daqué pequeñu con un de pocos aumentos nun vamos ver nada, si son munchos vamos velo tou esborriáu, namás que podemos ver l’oxetu col lente apropiáu, cola so dimensión.
   Agora ya tenemos una carauterística midible de los fractales, n’ocasiones podemos usar el métodu qu’estudiamos, pero na mayoría de los casos esti métodu ye pergafu d’aplicar, cuando non imposible, por mor a la dificultá d’atopar N(L). Ye per ello que s’usa un métodu venceyáu enforma al anterior, anque sigui un métodu más empíricu: ye’l box-counting. Con él podemos calcular otra triba de midía de dimensión, DCC, qu’anque nun ye exauta ye perasemeyada a DF.
    Entamamos metiendo’l fractal a estudiar nun cuadráu o nuna caxa (depende’l númberu de dimensiones) de llau L (en xeneral tien que tar normalizáu, tien que midir la unidá), y nél dibuxamos una rede de cuadradinos de llau l. Agora cuntamos el númberu de cuadrinos que tienen cachos del oxetu estudiáu, que nomamos N. Repetimos el procesu cada vez con redes más fines . Tenemos asina una serie de datos que si representamos nun gráficu con exes llogarítmicos vamos ver que tán axustamos a una reuta, de la que podemos calcular el so enclín , esti ye’l valor de DCC.
    Esta triba de midía ye perafayaiza a la hora d’estudiar la fractalidá d’oxetos naturales, asina como otros de calter más astrautu, ye la ferramienta acostumada pa calcular la dimensión fractal de cuasi cualesquier oxetu, y fasta hai programes d’usu cenciellu pal so cálculu, que puen báxase de la rede (p. ex. de Fractalyse.org).
   
    Ya tamos preparaos, nesti puntu, nel que coñocemos les carauterístiques básiques de los fractales y cómo cuantificalos, pa ver les tribes qu´esisten. Vamos velos a traviés de dellos fractales que podemos denomar como clásicos.

miércoles, 18 de febrero de 2015

Les otres matemátiques: un taxi de ruedes cuadraes

Una de les pequeñes ayalgues que más me prestaron de toles con que nos dexó plasmaos Toño, foi una lleición sobre como nes matemátiques (o en física) tenemos que tener en cuenta en que “universo” nos movemos, tou entama con una carrera en taxi (que ya nos cuantra n’otra clase, pa falar d’otra cosa).
    Vamos imaxinar que tamos nuna ciudá de diseñu ortogonal, na que nos edificios y cais formen una cuadrícula, tal y como vemos na imaxen, resulta que queremos dir de A a B, poro como B ta lloñe llamamos un taxi, garramos abondo de perres por que la carrera va salinos un poquiñín cara, montamos nel taxi y dicimos: -Bones, a B por favor.
La ciudá cuadrícula
   El camín que tien que siguir el taxi tien que dir peles cuadrícules de la ciudá, ya que nun pue dir derechu de A a B, esto va repercudir na distancia que tien qu’andar el coche, y per ende nel montu de perres que vamos que tener que paga-y al taxista. ¿Cúala ye la diferencia? Nada más cenciellu de calcular, si cuntamos que cada cuadrícula val  una unidá arbitraria, tal que 1, sabemos que si vamos en llínia reuta de A a B, la distancia sedrá, resolviendo col Teorema de Pitagoras 6,71, mentantes que si tenemos que dicir la distancia siguiendo les cuadrícules ésta sedrá 9 (namás que hai que cuntar los llaos de los cuadraos polos que pasamos).
Los dos recorríos, en llínia reuta nun ye posible
 
Amás sedrá la mesma vayamos per onde vayamos como vemos nos exemplos, siempre que temos averándonos a B, o sía, sin dar p’atrás y garrar una direición contraria. 

Dellos caminos posibles, pue vese que toos miden lo mesmo: nueve unidaes
   Ye nidio que les normes que funcionaben nel mundiu d’Euclides nun valen pa describir les xeometríes de tolos “universos”, tamos delantre d’otru tipu de xeometría, que Hermann Minkowski ideó y nomó Xeometría Manhattan, por la mor de lo asemeyáu a les cais de la islla de New York, anque nun lo paez, esti señor ideó y propuso este sistema xeométricu con tol rigor y seriedá qu’un matemáticu tien, pues (ensín entrar en muchos detalles enguedeyosos) cumple tolos requisitos qu’un sistema xeométricu tien que cumplir, pues como diremos viendo más palantre hai munches tribes de xeometríes, y dalgunes describen meyor el universu nueso que la xeometría euclidiana que lleven enseñando nes escueles desde el sieglu II anties de la nuesa era, poro ya lo veremos, vamos al tema del entremés que nos diera Toño daquella.
   Si cuntamos que la nuesa vida desendolca nun mundiu nel que manda la xeometría Manhattan, vamos a atopar un efeutu perchocante. ¿Cómo sedría un círculu pintaú nel universu cuadriculáu de Minkowski? Un círculu en tolos mundos ye un conxuntu de puntos que tán a una distancia fixa d’un puntu nomáu centru, y que acostumamos a pintar como na imaxen , que sedría una representación del círculo nel  sistema euclidianu polo menos, poro, ¿cómo sedría nel sistema taxi?
Circunferencia según Euclides
   Sabemos que tolos puntos del círculu tienen que tar a la mesma distancia del centru, polo que si cuntamos por cuadrícules el nueso círculu va tener esti aspeutu:
Circulu nel universu de Minkowski
   Podemos hasta calcular el perímetru del círculu o circunferencia, siendo 1 la ralura ente divisiones y 6 el radiu, tenemos que na xeometría d’Euclides ye 37,68 (recuerda 2*π*r), y na xeometría de Minkowski ye 24 (namás que tenemos que sumar el llargor de los llaos, o elevar al cuadráu un llau).
    Como ves, con un cenciellu cambeo de sistema, ficimos lo que parecía imposible la cuadratura del círculu, agora la entruga ye, ¿cómo yera la forma de les ruedes del taxi que garra en A?

P.D. Lo  que Toño quiso cuntanos daquella, foi qu’en mates (y en física) tenemos que tener pernidio cuál ye l’universu nel que nos movemos, y les riegles que lo faen funcionar, dalgo qu’anque nos paezca daqué abstrautu tien munches implicaciones na nuesa vida, ya vos cuntaré, na siguiente entrada algo más d’esto, cuando vos dea la cuarta estaya de los fractales, como vais ver nesti blogue poco a poco van dir axuntándose tolos temas faciendo una rede (o intentándolo), que forma parte de la rede que la ciencia texió pa explicar lo que sucede al nueso alredor.

Les otres matemátiques: píldores alternatives a les lleiciones gafes de mates

Entamu  
 
   Si daquién fizo que m’interesase poles mates, esi foi un profesor que tuve nel institutu, del que, paradóxicamente, namás que m’alcuerdo del so nome, Toño. Esti mayestru, yera una presona d’aspeutu y comportamientu seriu, poro veíase que tinía un apegu especial a la materia qu’impartía, y anque les sos clases nun destremaben muncho de les que podía dar otru  profesor d’esta materia, pues toos tienen qu’axustase al curriculu escolar, además de qu’esta disciplina nun da muncho xuegu, supo tresmitir, polo mesmo nel casu mio, esa pasión polos númberos, gracies a delles píldores qu’entemecíen los pasatiempos, curiosidaes , trucos y caminos paralelos a les mates formales; pequeños comentarios que pa munchos nun dexaben de ser parte de les clases abegoses de Toño, pero que pa otros yeren un gran momentu, un momentu nel que podíes dexar esnalar la to imaxinación, y que xuncíen les matemátiques que taben nos llibros de testu col pruyir de la mente adolescente sedienta de conociencia. Vimos nestos momentos como los matemáticos de l'antigüedá llegaron a formular de forma intelixente, y ensín medios, teoremes clásicos qu’entá siguen siendo’l sofitu de munches matemátiques, vimos distintos medios de facer les operaciones aritmétiques, o d’au salen los teoremas y lleis más comunes qu’usamos, y otres munches coses qu’enxamas escaecí, y non por que tea bona memoria, sinón por que fui escribiéndoles toes nun cuadernu, aparte del de la asignatura, que nomé ‘Las otras matemáticas’. 

El cuadernu au guardé tolos entremeses matemáticos daquella

Una de les píldores, que llueu veríamos nel "Código Da Vinci"

   Nesta fastera del blogge voi asoleyar aquelles pincelaes que valieron pa que me tresformase nel, como me noma la mio muyer, ‘diañu les matemátiques’, y pamidea que solo por eso, por haberme pasao al so llao (escuro), Toño habría de tar satisfechu. 
A lo cabero tresformeme nel diañu les matemátiques



domingo, 15 de febrero de 2015

Los fractales: la xeometría del sieglu XXI (tercera parte)

   A la vista de los dos exemplos de fractales que vimos antes, volviendo ya a les carauterístiques de los fractales,  hai otra carauterística que ye perinteresante: les tendencies que tienen esos oxetos a aumentar o disminuir daqué propiedá fasta proporciones infinites. Esto pue que nun s’atalante de forma cenciella, vamos velo seliquín.

    Antes de nada, tornamos al exemplu de la curva de Koch.

   Koch valióse d’esta curva pa illustrar que yeren les curves non derivables. En xeneral, pa cualesquier puntu d’una curva podemos atopar la tanxente (la llínia que pasa per esi puntu solu ensin cortala), ye un preséu perutil, ya que con ella podemos calcular la derivada d’una función. Les curves que tienen esti comportamientu son derivables o reutificables. El casu ye que Kock proponía una triba de curva que nun yera derivable, nesti oxetu nun se pue trazar nenguna tanxente, nun somos quien a dibuxar una llínia que pase per un puntu namás. ¿Por qué? La curva tien un contornu infinitamente irregular, ta formada por ringorrangos infinitos. Esto fina nuna conclusión perinteresante, si cortamos la curva ente dos puntos cualesquiera, anque tean peraveraos, al estirar la curva atopamos que la reuta resultante tien un llargor infinitu. Tou esto xeneráu nuna rexón finita del espaciu.
   Vamos paranos un cachín nesti asuntu cavilando del revés. Arrancamos con una reuta con un llargor igual a 1, agora cambianos el terciu central por dos segmentos de llargor 1/3 tal cuálo apaez nel dibuxu.


   Por ciertu, esti primer movimientu define lo que va ser el xenerador del fractal, ya qu’esta ye la forma que vamos a apegar una y otra vegada. Colo dicho, apegamos el xenerador, anque reducíu un terciu, a la forma de riba, y depués repetimos una y otra vegada’l procesu, asina fasta l'infinitu...


   ¿Cuánto midirá’l conxuntu? Ye nidiu que la reuta del aniciu midi 1, pero, ¿la curva de la segunda iteración?, ¿y la tercera, y la n-esima?
    El llargor, a midía qu’iteramos, sedrá:
  Como vemos tres cada iteración el llargor crez, a lo primeru muncho, depués cada vegada menos, pero siempre aumenta. Esto llévanos a que'l llargor de la curva cabera (alcordémosnos que pa ello tenemos qu’iterar infinites veces) ye infinitu:

   ¿Y qué socede cola curva de Sierpinski? Nesi casu, si nos alcordamos, díbamos quitando-y  triángulos ensin parar, colo que l’área del triángulu ye más y más pequeña, siendo cero nel infinitu. Ye más l’área amernoga qu’esmecha, podemos ver el resultáu de calcular l’área pa delles iteraciones na tabla que sigui. Aniciamos con triángulu de llau 1, nos resultaos damos quince cifres significatives, que nun basten pa representar l’área na iteración 200.
   Tamos delantre d’oxetos ensin llendes exautes, que ponen unes torgues pergrandes a la hora de describilos. Necesitamos daqué que nos dexe carauterizar los oxetos que tienen estes propiedaes tan especiales. Pa ello vamos valinos d’un conceutu que toos coñocemos, anque pocos saben lo suxetivu que ye, trátase de la dimensión, que veremos otru día pa nun saturar al llector...

viernes, 13 de febrero de 2015

Midiendo la velocidá d'Eolo

   El mio interés pola meteoroloxía bien de muncho p’atrás, si a esto amestamos-y la mio zuna de construir aparatos caseros, tenemos como resultáu un filón de proyeutos ensín términu.
   La verdá ye que como soi un poco chatarreru, y munches pieces de los aparatos que collacios y compañeros traenme pa igüar, y que nun tienen solución, guárdoles con mires a futuros proyeutos, asina que d’aquel microondes amás de los imanes toroidales, enforma potentes, del magnetrón, la bobina d’alta tensión, el motor de xiru del platu y dalgunes pieces pequeñes (ya vos esplicaré pa que usé toes y caúna de les pieces), recuperé’l ventilador  de refrixeración. Enseguida vi l’usu pa esti: diba a construir un anemómetru. 
El motorín d'un ventilador de microondes destripáu

   Valime d’un fenómenu del que ya falé na entrada del sismómetru, la inducción magnética. Como sabéis al meter un metal al travíes d’una bobina de cobre xenérase una diferencia de potencial ente los estremos de la bobina, d’esti efeutu válense los xeneradores, que nun son otra cosa qu’un núcleu de metal que xira dientro d’una bobina, lo que xenera corriente, l’efeutu contrariu son lo motores llétricos, que deben el movimiento de so por la mor de la tensión que-y aplicamos a los estremos de una bobina, el pasu de la corriente llétrico al traviés de la bobina xenera un campu, que influye nel núcleu del motor que ye d’una forma determinada pa que nun quede orientáu al campu, sinón que siempre tien que tar intentando orientase darréu, lo que traduzse nun movimientu de xiru. Asina que, polo tanto, un motor y un xenerador vienen a ser lo mesmo, y podemos xenerar corriente con un motor y facer que xire un xenerador si-y metemos corriente. Cúala ye la conclusión depués d’esti enguedeyu, pues que diba usar el movimientu del ventilador del microondes para midir la velocidá del vientu.
   El montaxe nun tinía nenguna torga, la torga taba’n como tresformar esi movimientu en una midida de la velocidá del vientu (en km/h). Opté por xenerar el mio propio vientu, col fin de venceyar una velocidá concreta a una midida en mV. Con un manoreductor, un aparatu col que podemos abrir o zarrar el pasu d’aire, fui aumentando la presión del aire que soplaba y movía’l ventilador, apuntando per un llau la presión que marcaba’l un manómetru, y per otra la llectura del voltímetru. Ye nidio que la midida de la presión que fai movese’l ventilador nun nos val muncho a la hora conocer la velocidá del vientu, poro en física ta tou inventáu, y atopamos que la presión que fae’l vientu n’una superficie ye proporcional a la velocidá del vientu al cuadrao, siendo la fórmula pa calcular esta presión:

siendo P la presión que fae’l vientu na superficie dada (en Pascales), ρ la densidá del aire (kg/m^3), y v la velocidá del vientu (en m/s), que si despexamos salnos:

Coles midies que garramos enantes, de presión y tensión xenerao, y esta fórmulina podíamos saber cuála yera la velocidá, pa esi día calculé que l’aire tinía una densida de 1,2 kg/m^3 (en xeneral la densidá tá entre 1,18 y 1,4 kg/m^3, calculala ye daqué enguedeyosu, poro hai calculadores n’internet que aforren-nos trabayu, como la qu’atopamos en www.dolzhnos.com.ar/htm/densidad_del_aire.htm), asina qu’aplicando la fórmula atopé que la correspondencia ente km/h y mV yera llinial, como vemos na gráfica: 


Con esto, y cola ayuda d’una fueya de cálculu, podemos calcular la velocidá de manera percenciella sofitaos na midida de mV, aplicando la ecuación qu’atopamos calculando la reuta de regresión (cualquier fueya de cálculo, como Excel u Open Oficce, tien la función pa calcular la ecuación de la reuta d’un distribución de datos), ye dicir:
   
                                            velocidá=(0,1715 x tensión xenerada) + 1.591

    Desde esi momentu, con esta fórmula namás que tenía que facer esa pequeña tresformación, cada vegada que tomaba a midida de la velocidá del vientu. 



    La verdá que l’aparatín aquel yerá, amás de cenciellu, perfiable, pues comprobándolu con un anemómetru comercial, pude comprobar que tinía un error d’ente 0,41 y 0,52 km/h, un error del tou aceptable pa un “equipu artesanu”; poro, entá nun quedaba a gustu, pues nun me facía muncha gracia tener qu’andar tresformando los datos en cada midida, polo que tres una temporada usándolu finé que discurrir otru aparatu nel que nun tenía qu’andar tresformando los datos, pero esa ye otra hestoria que cuntaré más p’alantre.